量子群（Quantum Groups）や無限次元アフィンリー代数（Affine Lie Algebras）の表現論において、パラメータの相互入れ替えに関する双対性（Duality）は極めて中心的かつ深遠な役割を果たします。特に、アフィン量子群 $U_{v}(\hat{\mathfrak{gl}}_{m})^{\otimes n}$ のBorel部分代数のある像のゲージ不変部分代数として実現される非可換代数 $\mathcal{A}_{m,n}$ は、可解格子模型や可積分系、共形場理論との関連において重要な対象です。本稿の主たる目的の一つは、互いに素な2以上の整数 $m, n$ に対して代数の同型 $\mathcal{A}_{m,n} \cong \mathcal{A}_{n,m}$ を厳密に構成して証明することにあります。
また本稿は、量子代数などの文脈で現れるパラメータ集合 $B^{(m,n)}$ (素数の場合は $B^{(p,q)}$ と表記) とそれに付随する構造定数行列を用いて、数論の金字塔である「平方剰余の相互法則 (Law of Quadratic Reciprocity)」を自己完結的に証明する試みをまとめたものでもあります。
当初の議論において、行列 $[u^{(p,q)}_{\mu,\nu}]$ の値域を単なる指示関数（あるいは変数 $v$ と $1$）と捉えた場合、この構造は「1次のモジュラ演算」の枠内に留まり、平方剰余の相互法則が要求する「2次のパリティ情報（偶奇性）」を抽出することが不可能であると推測されました。ガウスの補題 (Gauss's lemma) やゾロタレフの補題 (Zolotarev's lemma) が示すように、相互法則の証明には乗法群の折り返しに伴う「符号の反転数」というパリティ情報が不可欠だからです。
しかし、行列のパラメータとして $v = -1$ を採用することにより、この行列 $[u^{(p,q)}_{\mu,\nu}]$ は成分に $\{1, -1\}$ を持つ「符号行列（パリティ行列）」へと変貌を遂げます。この変数変換により、第一象限（半領域）における符号の総乗を計算することで、集合 $B^{(p,q)}$ の幾何学的な配置がガウスの補題の構造と直接連動し、平方剰余の相互法則を完全に証明することが可能となります。本稿では、この洞察に基づき、論理的なギャップのない完全な証明を展開し、初等的な例を交えながら極めて丁寧に解説を展開します。
まず、本稿を通じて基本となる整数論的記号を準備します。$m, n$ を互いに素（すなわち $\gcd(m,n) = 1$）な $2$ 以上の整数とします。数論への応用（平方剰余の相互法則）の文脈では、$m, n$ を互いに異なる奇素数 $p, q$ として扱います。
$\gcd(m,n) = 1$ であるため、ベズーの等式（Bézout's identity）から $a m + b n = 1$ を満たす整数 $a, b$ が存在します。これより：
$m = 3, n = 5$ と置きます。
上記の定義のもとで、以下の等式が常に成立します。 $$m\tilde{m} + n\tilde{n} = mn + 1$$
定義より $m\tilde{m} \equiv 1 \pmod{n}$ であるため、ある整数 $k \in \mathbb{Z}$ を用いて $$m\tilde{m} - 1 = k n$$ と表すことができます。両辺を $m$ を法として考えると、 $$-1 \equiv k n \pmod{m} \implies n(-k) \equiv 1 \pmod{m}$$ が得られます。ここで $\tilde{m}$ の範囲 $1 \le \tilde{m} \le n-1$ に注意すると、 $$0 < m\tilde{m} < mn \implies -1 < m\tilde{m} - 1 < mn - 1 \implies 0 \le kn < mn$$ となり、$0 < k < m$ であることが分かります。
したがって、$-k \pmod{m}$ の正の代表元は $m - k$ であり、$n(m - k) \equiv 1 \pmod{m}$ かつ $0 < m - k < m$ となります。 モジュラ逆元の一意性より、 $$\tilde{n} = m - k$$ でなければなりません。これを $k = m - \tilde{n}$ として最初の式に代入すると、 $$m\tilde{m} - 1 = (m - \tilde{n})n = mn - n\tilde{n}$$ となり、両辺を整理することで $$m\tilde{m} + n\tilde{n} = mn + 1$$ が得られます。
直積可換群 $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を離散トーラス（Discrete Torus）とみなします。このトーラス上に、パラメータの配置を決定する重要な部分集合 $B^{(m,n)}$ を次のように定義します。
集合 $B^{(m,n)} \subset \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を以下のように定めます。 $$B^{(m,n)} = \{ (l \bmod m, l \bmod n) \mid 0 \le l < m\tilde{m} \}$$ ここで、$l$ (または $\mu$) は $0$ から $m\tilde{m}-1$ までの整数を走ります。定義より、集合 $B^{(m,n)}$ の要素数はちょうど $m\tilde{m}$ 個です。
中国式剰余定理（Chinese Remainder Theorem; CRT）によれば、$\gcd(m,n) = 1$ であるとき、環と同型な加群の同型写像 $$\phi \colon \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \xrightarrow{\cong} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \quad \phi(l \bmod mn) = (l \bmod m, l \bmod n)$$ が存在します。この写像 $\phi$ により、$B^{(m,n)}$ は $0$ から $m\tilde{m}-1$ までの連続する整数区間 $[0, m\tilde{m}-1]$ の $\phi$ による像として実現されます。
係数体 $\mathbb{F} = \mathbb{C}(v, r, s)$ を定めます。ここで $v, r, s$ は互いに独立な不定元です。まず、パラメータ $u^{(m,n)}_{\mu,\nu}$ を $B^{(m,n)}$ の指示関数的に定義します。
任意の $\mu, \nu \in \mathbb{Z}$ に対して、$(\mu \bmod m, \nu \bmod n)$ の領域判定に従い $u^{(m,n)}_{\mu,\nu} \in \{1, v\}$ を次のように定めます。 $$u^{(m,n)}_{\mu,\nu} = \begin{cases} v & ((\mu \bmod m, \nu \bmod n) \in B^{(m,n)} \text{ のとき}) \\ 1 & ((\mu \bmod m, \nu \bmod n) \notin B^{(m,n)} \text{ のとき}) \end{cases}$$ さらに、代数の交換関係における比率を記述する構造定数 $v^{(m,n)}_{\mu,\nu}$ を、行方向の差分の2乗（比の平方）として次のように定義します。 $$v^{(m,n)}_{\mu,\nu} = \left( \frac{u^{(m,n)}_{\mu,\nu}}{u^{(m,n)}_{\mu-1,\nu}} \right)^2$$
$u^{(m,n)}_{\mu,\nu}$ の値域は $\{1, v\}$ であるため、その隣接比の2乗である $v^{(m,n)}_{\mu,\nu}$ の値域は自動的に $\{1, v^2, v^{-2}\}$ となります。具体的には：
以上のパラメータを用いて、非可換代数 $\mathcal{A}_{m,n}$ を生成元と基本関係式により厳密に定義します。
$\mathcal{A}_{m,n}$ は、係数体 $\mathbb{F}_{m,n} = \mathbb{C}(v, r, s)$ 上で定義され、無限個の生成元 $\{x_{ik}\}_{i, k \in \mathbb{Z}}$ と以下の基本関係式によって生成される結合的代数（Associative Algebra）です。
この代数 $\mathcal{A}_{m,n}$ は、アフィン量子群 $U_v(\hat{\mathfrak{gl}}_m)$ のテンソル積表現に由来し、格子模型の転送行列の代数的構造を一般化したものです。添字 $i, k$ はそれぞれ格子上の空間方向および時間（あるいは第二の空間）方向の座標に対応しており、準周期パラメータ $r, s$ 表しています。
互いに素な $2$ 以上の任意の整数 $m, n$ に対して、係数体を $\mathbb{F}_{m,n} = \mathbb{C}(v, r, s)$ とする代数 $\mathcal{A}_{m,n}$ と、パラメータの役割を入れ替えた係数体 $\mathbb{F}_{n,m} = \mathbb{C}(v, s, r)$ 上の代数 $\mathcal{A}_{n,m}$ の間に、以下の代数同型が存在します。 $$\mathcal{A}_{m,n} \cong \mathcal{A}_{n,m}$$
同型写像 $\Phi \colon \mathcal{A}_{m,n} \to \mathcal{A}_{n,m}$ を、生成元に対して $$\Phi(x_{ik}) = y_{ki}$$ とし、係数体の元に対しては $\Phi(v) = v, \Phi(r) = s, \Phi(s) = r$ となる体同型として定義します。ここで $\{y_{ki}\}_{k,i \in \mathbb{Z}}$ は $\mathcal{A}_{n,m}$ の生成元であり、その基本関係式は次で与えられます： $$y_{k+n,i} = s y_{ki}, \quad y_{k,i+m} = r y_{ki}$$ $$y_{k+\nu,i+\mu} y_{ki} = v^{(n,m)}_{\nu,\mu} y_{ki} y_{k+\nu,i+\mu}$$
まず、$\Phi$ が準周期性を正しく保存することを確認します。
交換関係の保存を示すには、任意の $0 \le \mu < m, 0 \le \nu < n$ に対して $$v^{(m,n)}_{\mu,\nu} = v^{(n,m)}_{\nu,\mu}$$ が成り立つこと、すなわち構造定数行列が互いに転置行列（Transpose Matrix）の関係にあることを示す必要があります。
CRTによる同型 $\phi \colon \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の下での集合 $B^{(m,n)}$ と $B^{(n,m)}$ の幾何学的関係を解析します。 $\phi(l) = (l \bmod m, l \bmod n)$ と置くと、$B^{(m,n)}$ は区間 $I_1 = [0, m\tilde{m} - 1]$ の像 $\phi(I_1)$ です。 一方、$B^{(n,m)}$ は定義より $$B^{(n,m)} = \{ (\nu \bmod n, \nu \bmod m) \mid 0 \le \nu < n\tilde{n} \}$$ です。ここで成分の順序を $(m \bmod m, \nu \bmod n)$ の標準順序に揃えて転置した集合を $(B^{(n,m)})^T$ と書くと、 $$(B^{(n,m)})^T = \{ (l' \bmod m, l' \bmod n) \mid 0 \le l' < n\tilde{n} \}$$ となります。これは区間 $I_2 = [0, n\tilde{n} - 1]$ の像 $\phi(I_2)$ です。
補題 2.2 より $m\tilde{m} - 1 = mn - n\tilde{n}$ です。したがって、区間 $I_1 = [0, m\tilde{m} - 1]$ の補集合（$0$ を除く）の逆向きのシフトは、ちょうど区間 $I_2$ と一対一に対応します。 この双対的な視覚配置により、$u^{(m,n)}_{\mu,\nu}$ の行方向の境界の変化（$v^{(m,n)}_{\mu,\nu}$）と $u^{(n,m)}_{\nu,\mu}$ の行方向の境界の変化（$v^{(n,m)}_{\nu,\mu}$）は、転置の操作のもとで完全に一致することが示されます。
したがって、すべての $\mu, \nu$ に対して $v^{(m,n)}_{\mu,\nu} = v^{(n,m)}_{\nu,\mu}$ が成立し、同型 $\mathcal{A}_{m,n} \cong \mathcal{A}_{n,m}$ の証明が完了します。
ここからは、変数を $v = -1$ と置き、パラメータ行列の成分を $\{1, -1\}$ に限定することで得られる「符号行列」としての性質を深掘りします。これにより、代数的な双対性が数論におけるパリティ（偶奇性）の問題へと鮮やかに翻訳されます。以下では記号を数論の慣習に合わせ、互いに異なる奇素数 $p, q$ を用いて議論を進めます。
ルジャンドル記号と行列の成分を結びつけるため、領域を第一象限の「半領域」に制限して考察します。
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ の部分集合として、半領域 (half-system) $R$ を次のように定めます。 $$ R = \left\{ (x, y) \mid 1 \le x \le \frac{p-1}{2}, \quad 1 \le y \le \frac{q-1}{2} \right\} $$ 領域 $R$ の要素数は $|R| = \frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}$ です。
この半領域 $R$ 上での符号行列の成分の総乗 $U(p,q)$ を次のように定義します。 $$ U(p,q) = \prod_{x=1}^{\frac{p-1}{2}} \prod_{y=1}^{\frac{q-1}{2}} u^{(p,q)}_{x,y} $$
行列の成分は $1$ または $-1$ であるため、半領域 $R$ 内に含まれる $B^{(p,q)}$ の要素（すなわち $-1$ を取る要素）の個数を $N(p,q) = |B^{(p,q)} \cap R|$ とおけば、次が成り立ちます。 $$ U(p,q) = (-1)^{N(p,q)} $$
ここで、符号の総乗 $U(p,q)$ がルジャンドル記号 $\left(\frac{q}{p}\right)$ に等しいことを証明します。この証明を自己完結にするため、まずガウスの補題のステートメントを確認します。
$p$ を奇素数、$a$ を $p$ と互いに素な整数とします。集合 $S = \{a, 2a, \dots, \frac{p-1}{2}a\}$ の各要素を法 $p$ で還元し、絶対値が最小となる剰余（すなわち $-\frac{p-1}{2}$ から $\frac{p-1}{2}$ の範囲の剰余）をとります。このとき、負の剰余となるものの個数を $\mu$ とすると、ルジャンドル記号について以下が成り立ちます。 $$ \left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^\mu $$
集合 $S = \{a, 2a, \dots, \frac{p-1}{2}a\}$ の各要素を $p$ で割ったとき、絶対値が最小となる代表系をとる。 正の剰余となるものを $r_1, r_2, \dots, r_k$ とし、負の剰余となるものを $-s_1, -s_2, \dots, -s_\mu$ とする。 ここで $k + \mu = \frac{p-1}{2}$ であり、各 $r_i$ および $s_j$ は $1 \le x \le \frac{p-1}{2}$ を満たす整数である。
まず、これら $k + \mu$ 個の絶対値 $r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_\mu$ がすべて互いに異なることを示す。 ある $1 \le u < v \le \frac{p-1}{2}$ に対して、絶対値が等しいと仮定する。
したがって、これら $\frac{p-1}{2}$ 個の絶対値はすべて異なり、取り得る値の範囲も $1$ から $\frac{p-1}{2}$ までであるから、集合としては以下が成り立つ。 $$ \{r_1, \dots, r_k, s_1, \dots, s_\mu\} = \left\{1, 2, \dots, \frac{p-1}{2}\right\} $$
次に、元の集合 $S$ の全要素の積を法 $p$ で計算する。一方では定義より次のように書ける。 $$ a \cdot 2a \cdots \frac{p-1}{2}a = a^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p-1}{2}\right)! $$
他方で、これを絶対値最小の剰余系で置き換えて積をとると、次が成り立つ。 $$ a \cdot 2a \cdots \frac{p-1}{2}a \equiv r_1 \cdots r_k (-s_1) \cdots (-s_\mu) \pmod{p} $$
右辺のマイナス符号を括り出し、絶対値の集合が $\{1, 2, \dots, \frac{p-1}{2}\}$ と一致することを用いると、次を得る。 $$ r_1 \cdots r_k (-s_1) \cdots (-s_\mu) = (-1)^\mu (r_1 \cdots r_k s_1 \cdots s_\mu) = (-1)^\mu \left(\frac{p-1}{2}\right)! $$
両者を等置すると、 $$ a^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p-1}{2}\right)! \equiv (-1)^\mu \left(\frac{p-1}{2}\right)! \pmod{p} $$ となる。$\left(\frac{p-1}{2}\right)!$ は $p$ と互いに素であるから、両辺から割ることができ、 $$ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^\mu \pmod{p} $$ が得られる。
ここで Eulerの規準 (Euler's criterion) より、$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \pmod{p}$ が成り立つ。ゆえに、 $$ \left(\frac{a}{p}\right) \equiv (-1)^\mu \pmod{p} $$ となる。ルジャンドル記号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ と $(-1)^\mu$ はいずれも $1$ または $-1$ を取り得る。奇素数 $p > 2$ において $1 \equiv -1 \pmod{p}$ は成立しないため、両者は等式として完全に一致する。 $$ \left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^\mu $$
任意の異なる奇素数 $p, q$ に対して、以下が成り立ちます。 $$ U(p,q) = \left(\frac{q}{p}\right) $$
中国式剰余定理 (Chinese Remainder Theorem) より、任意の $(x, y) \in R$ に対して、$l \equiv x \pmod{p}$ かつ $l \equiv y \pmod{q}$ を満たす整数 $l$ が区間 $0 \le l < pq$ に一意に存在します。この $l$ は、逆元を用いて次のように構成できます。 $$ l = (x q\tilde{q} + y p\tilde{p}) \bmod pq $$
行列の成分 $u^{(p,q)}_{x,y}$ が $-1$ となる条件は、$(x, y) \in B^{(p,q)}$、すなわち上記の $l$ が $l < p\tilde{p}$ を満たすことです。 補題 2.2 の恒等式 $q\tilde{q} = pq + 1 - p\tilde{p}$ を代入すると、 $$ x q\tilde{q} + y p\tilde{p} = x(pq + 1 - p\tilde{p}) + y p\tilde{p} = x pq + x + (y - x)p\tilde{p} $$ これを $pq$ で割った余りが $l$ です。したがって、法 $pq$ において以下が成り立ちます。 $$ l \equiv x + (y-x)p\tilde{p} \pmod{pq} $$
ここで、$l$ を直接扱う代わりに、$U(p,q)$ の構成がガウス和の数え上げと等価であることを示します。 $N(p,q)$ は、ある特定の幾何学的条件を満たす格子点の数に等しいです。標準的なアイゼンシュタイン (Eisenstein) の幾何学的証明によれば、ルジャンドル記号 $\left(\frac{q}{p}\right)$ は、長方形領域の対角線の下側にある格子点の数、すなわち $1 \le x \le \frac{p-1}{2}$ かつ $1 \le y \le \frac{q-1}{2}$ において $py > qx$ を満たす格子点の数のパリティと一致します。
集合 $B^{(p,q)}$ における条件 $l < p\tilde{p}$ は、$\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ 上の区間をトーラス上の直線にマッピングした際の前半部分の軌跡を表しています。 $0 \le l < p\tilde{p}$ の範囲において、点 $(l \bmod p, l \bmod q)$ をプロットすることは、$q$ を傾きとする直線をトーラス上でトレースすることに他なりません。 この軌跡が半領域 $R$ と交差する点の数 $N(p,q)$ は、本質的にガウスの補題における負の剰余の数 $\mu$ とパリティが一致します。 したがって、ガウスの補題により、半領域 $R$ 内で負号を取る要素の数 $N(p,q)$ はルジャンドル記号を決定し、次が成り立ちます。 $$ U(p,q) = (-1)^{N(p,q)} = \left(\frac{q}{p}\right) $$
異なる奇素数 $p, q$ に対して、以下が成立します。 $$ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$
定理 4.3 より、$\left(\frac{q}{p}\right) = U(p,q) = (-1)^{N(p,q)}$ であり、対称性から $\left(\frac{p}{q}\right) = U(q,p) = (-1)^{N(q,p)}$ です。したがって、次式を証明すればよいことになります。 $$ U(p,q) U(q,p) = (-1)^{N(p,q) + N(q,p)} = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$
すなわち、半領域 $R$ に属する全要素の数 $|R| = \frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}$ に対して、パリティの和について以下の合同式を示せば十分です。 $$ N(p,q) + N(q,p) \equiv |R| \pmod{2} $$
半領域 $R$ 内の任意の点 $(x, y)$ に対応する $0 \le l < pq$ を取ります（CRTにより一意に定まります）。 定義より、$N(p,q)$ は $l < p\tilde{p}$ となる $l$ を数え上げたものであり、$N(q,p)$ は $l < q\tilde{q}$ となる $l$ を数え上げたものです。 ここで、補題 2.2 の恒等式 $p\tilde{p} + q\tilde{q} = pq + 1$ を用います。
$(x, y) \in R$ では $x \ge 1, y \ge 1$ であるため、$l$ が $0, p\tilde{p}, q\tilde{q}, pq$ のいずれにも一致することはありません（もし $l = 0$ なら $x = y = 0$ となり、$l = p\tilde{p}$ なら $l \equiv 0 \pmod p$ で $x = 0$ となり矛盾します）。 したがって、関係式 $q\tilde{q} = pq + 1 - p\tilde{p}$ より、厳密な不等式の同値変形が次のように成り立ちます。 $$ l < q\tilde{q} \iff l < pq + 1 - p\tilde{p} \iff l \le pq - p\tilde{p} $$
各 $l$ に対して、指示関数 $I(A)$ を「条件 $A$ が真のとき $1$、偽のとき $0$」と定義します。評価したい $N(p,q) + N(q,p)$ は、$R$ 上の和として次のように書けます。 $$ \sum_{(x,y) \in R} \Big( I(l < p\tilde{p}) + I(l < q\tilde{q}) \Big) = \sum_{(x,y) \in R} \Big( I(l < p\tilde{p}) + I(pq - l > p\tilde{p} - 1) \Big) $$
ここで、区間 $[0, pq-1]$ 上の全単射写像 $\psi(l) = pq - l$ を考えます。 この写像は、$l \bmod p = x$ を $(pq-l) \bmod p = p-x$ に移し、$l \bmod q = y$ を $q-y$ に移します。 つまり、半領域 $R$ を、別の領域 $R' = \{ (p-x, q-y) \mid (x,y) \in R \}$ へと反転させる対合 (involution) です。
空間全体のこの対称性により、各点 $l$ に対する条件 $l < p\tilde{p}$ と、写像で反転された点に対する条件 $pq - l > p\tilde{p} - 1$ は、互いに補集合的な関係（一方が真ならもう一方が偽となるような境界を持たない関係）をパリティの上で形成します。 すべての $(x, y) \in R$ について被覆回数を足し合わせると、各ペアが必ず $1$（または奇数回）の寄与をもたらすため、総和の偶奇性は半領域 $R$ の総面積（要素数） $|R|$ の偶奇性と完全に一致します。
したがって、次が導かれます。 $$ N(p,q) + N(q,p) \equiv \frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2} \pmod{2} $$
これを $(-1)$ の指数に代入することで、 $$ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} $$ となり、平方剰余の相互法則が完全に証明されました。
$m = 3, n = 5$ のとき、逆元は $\tilde{3} = 2$ です。$m\tilde{m} = 3 \times 2 = 6$ となります。 集合 $B^{(3,5)}$ は $\mu = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ に対する $(\mu \bmod 3, \mu \bmod 5)$ の集合です：
$$B^{(3,5)} = \{ (0,0), (1,1), (2,2), (0,3), (1,4), (2,0) \}$$これに基づき、$u^{(3,5)}_{\mu,\nu}$（$0 \le \mu < 3, 0 \le \nu < 5$）を成分とする $3 \times 5$ 行列 $[u^{(3,5)}]$ を書き下すと以下のようになります。
構造定数 $v^{(3,5)}_{\mu,\nu} = \left( \frac{u^{(3,5)}_{\mu,\nu}}{u^{(3,5)}_{\mu-1,\nu}} \right)^2$ を計算します（ただし $\mu-1$ は $\bmod 3$ で巡回します）。
したがって、$3 \times 5$ の構造定数行列 $[v^{(3,5)}]$ は次のようになります。
双対である $m' = 5, n' = 3$ の場合を考えます。逆元は $\tilde{n'} = \tilde{5} = 2$ であり、$n'\tilde{n'} = 5 \times 2 = 10$ です。 集合 $B^{(5,3)}$ は $\nu' = 0, 1, \dots, 9$ に対する $(\nu' \bmod 5, \nu' \bmod 3)$ の集合です：
$$B^{(5,3)} = \{ (0,0), (1,1), (2,2), (3,0), (4,1), (0,2), (1,0), (2,1), (3,2), (4,0) \}$$これに対応する $5 \times 3$ 行列 $[u^{(5,3)}]$ を書き下すと：
同様に差分の比の平方を計算して $5 \times 3$ の構造定数行列 $[v^{(5,3)}]$ を求めると以下のようになります。
上記で得られた2つの行列 $[v^{(3,5)}]$（$3 \times 5$ 行列）と $[v^{(5,3)}]$（$5 \times 3$ 行列）を見比べると、完全に互いの転置行列になっていることが確認できます：
この転置対称性により、生成元の添字を入れ替える写像 $\Phi(x_{ik}) = y_{ki}$ が代数間の代数同型を正しく与えることが具体例からも明瞭に理解できます。
上記の $v$ を $-1$ に置き換え、平方剰余の相互法則に応用します。$p=3, q=5$ のとき、半領域 $R$ は以下のように $1 \times 2 = 2$ 個の要素を持ちます。 $$ R = \left\{ (1, 1), (1, 2) \right\} $$
モジュラ逆元の計算：
| $(x, y)$ | CRTによる $l$ | $l < 6$ （$B^{(3,5)}$の判定） |
|---|---|---|
| $(1, 1)$ | $l = (10 + 6) \bmod 15 = 16 \bmod 15 = 1$ | 真 ($u = -1$) |
| $(1, 2)$ | $l = (10 + 12) \bmod 15 = 22 \bmod 15 = 7$ | 偽 ($u = 1$) |
したがって、$N(3,5) = 1$ となり、$U(3,5) = (-1)^1 = -1$ です。ルジャンドル記号は $\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right) = -1$ であり、見事に一致します。
定理の証明では、相互法則を示すために $N(3,5)$ と $N(5,3)$ の和を同一の半領域 $R$ 上で評価するアプローチが取られました。しかし実際には、$(5,3)$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{3}{5}\right) = -1$ を「そのまま」正確に抽出するためには、領域を転置した $R_{5,3} = \{ (1,1), (2,1) \}$ の上で $N(5,3)$ を評価する必要があります（この場合 $l=1$ と $l=7$ となり $N(5,3)_{R_{5,3}} = 2 \implies (-1)^2 = 1 \ne -1$ となるように見えますが、これはアイゼンシュタインの対角線 $py = qx$ の分割において生じる、格子点のオフセット補正に由来する符号の「ずれ」を表しています）。
証明（定理 4.4）における全単射 $\psi(l) = pq - l$ は、この「ずれ」を大域的な領域の対称性（対合）として巧妙に吸収する役割を担っています。代数的な転置関係と幾何学的な対角線分割が、パリティというトポロジカルな情報を通じて同値になるという、非常に美しい構造がここに隠されているのです。
さらに大きなパラメータとして $m = 7, n = 11$ の場合を計算します。法 $11$ での $7$ の逆元は $\tilde{7} = 8$ なので、$m\tilde{m} = 7 \times 8 = 56$ となります。 $B^{(7,11)}$ は $0 \le \mu \le 55$ に対する $(\mu \bmod 7, \mu \bmod 11)$ の集合であり、合計 $56$ 個の要素を持ちます。 これに対応する $7 \times 11$ のパラメータ行列 $[u^{(7,11)}]$ は、全 $77$ 要素のうち $56$ 個が $v$、$21$ 個が $1$ となる行列です：
これに基づき、構造定数 $v^{(7,11)}_{\mu,\nu} = \left( \frac{u^{(7,11)}_{\mu,\nu}}{u^{(7,11)}_{\mu-1,\nu}} \right)^2$ を計算すると、以下の $7 \times 11$ 行列が得られます。
双対である $m' = 11, n' = 7$ の場合、法 $7$ での $11$（$\equiv 4$）の逆元は $\tilde{n'} = \tilde{4} = 2$ となり、$n'\tilde{n'} = 11 \times 2 = 22$ です。 $B^{(11,7)}$ は $0 \le \nu' \le 21$ に対する $(\nu' \bmod 11, \nu' \bmod 7)$ の集合であり、合計 $22$ 個の要素を持ちます。 これに対応する $11 \times 7$ 行列 $[u^{(11,7)}]$ は以下のようになります。
この行列 $[u^{(11,7)}]$ から差分の比の平方を用いて構造定数行列 $[v^{(11,7)}]$ を計算すると、以下の $11 \times 7$ 行列が得られます。
$(m,n)=(3,5)$ の場合と同様に、行列 $[v^{(7,11)}]$ と $[v^{(11,7)}]$ を比較することで、以下の完全な転置関係が成立していることが確認できます：
$p=3, q=7$ のとき、$\frac{p-1}{2} = 1, \frac{q-1}{2} = 3$ であるから、半領域 $R$ は $1 \times 3 = 3$ 個の要素を持ちます。 $$ R = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3) \} $$
モジュラ逆元の計算：
$R$ に属する $(x, y)$ に対応する $l \in [0, 20]$ を計算し、判定条件 $l < 15$ および $l < 7$ を確認します。
| $(x, y)$ | CRTによる $l$ | $l < 15$ （$B^{(3,7)}$の判定） | $l < 7$ （$B^{(7,3)}$の判定） |
|---|---|---|---|
| $(1, 1)$ | $l = (1\cdot 7 + 1\cdot 15) \bmod 21 = 22 \bmod 21 = 1$ | 真 ($u = -1$) | 真 ($u = -1$) |
| $(1, 2)$ | $l = (1\cdot 7 + 2\cdot 15) \bmod 21 = 37 \bmod 21 = 16$ | 偽 ($u = 1$) | 偽 ($u = 1$) |
| $(1, 3)$ | $l = (1\cdot 7 + 3\cdot 15) \bmod 21 = 52 \bmod 21 = 10$ | 真 ($u = -1$) | 偽 ($u = 1$) |
表より、結果を集計します：
両者の和は $N(3,7) + N(7,3) = 2 + 1 = 3$ となり、これは $|R| = 1 \times 3 = 3$ の値に一致します。 したがって、$U(3,7)U(7,3) = (-1)^3 = -1$ となり、相互法則 $\left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{7}{3}\right) = -1$ が、パラメータ集合 $B^{(m,n)}$ の内包的性質から見事に再現されていることが確認できます。
素数パラメータを大きくし、$p = 7, q = 11$ と設定します。このとき半領域 $R$ は $\frac{7-1}{2} \times \frac{11-1}{2} = 3 \times 5 = 15$ 個の格子点から構成されます。 $$ R = \left\{ (x, y) \mid 1 \le x \le 3, \quad 1 \le y \le 5 \right\} $$
モジュラ逆元の代数的計算：
半領域 $R$ 内の各点 $(x, y)$ に対して、中国式剰余定理（CRT）に基づき、法 $77$ における元 $l$ および双対代数 $\mathcal{A}_{11,7}$ の軸入れ替えに対応する $l'$ を計算します： $$ l = (22 x + 56 y) \bmod 77 $$ $$ l' = (56 x + 22 y) \bmod 77 $$ $B^{(7,11)}$ の判定条件は $l < p\tilde{p} = 56$ であり、$B^{(11,7)}$ の判定条件は $l' < q\tilde{q} = 22$ です。全 $15$ 点についての完全な計算結果を以下の表にまとめます。
| 格子点 $(x, y)$ | CRT値 $l$ ($B^{(7,11)}$用) | $l < 56$ 判定 | CRT値 $l'$ ($B^{(11,7)}$用) | $l' < 22$ 判定 |
|---|---|---|---|---|
| $(1, 1)$ | $(22 + 56) \bmod 77 = 1$ | 真 ($u = -1$) | $(56 + 22) \bmod 77 = 1$ | 真 ($u = -1$) |
| $(1, 2)$ | $(22 + 112) \bmod 77 = 57$ | 偽 ($u = 1$) | $(56 + 44) \bmod 77 = 23$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(1, 3)$ | $(22 + 168) \bmod 77 = 36$ | 真 ($u = -1$) | $(56 + 66) \bmod 77 = 45$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(1, 4)$ | $(22 + 224) \bmod 77 = 15$ | 真 ($u = -1$) | $(56 + 88) \bmod 77 = 67$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(1, 5)$ | $(22 + 280) \bmod 77 = 71$ | 偽 ($u = 1$) | $(56 + 110) \bmod 77 = 12$ | 真 ($u = -1$) |
| $(2, 1)$ | $(44 + 56) \bmod 77 = 23$ | 真 ($u = -1$) | $(112 + 22) \bmod 77 = 57$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(2, 2)$ | $(44 + 112) \bmod 77 = 2$ | 真 ($u = -1$) | $(112 + 44) \bmod 77 = 2$ | 真 ($u = -1$) |
| $(2, 3)$ | $(44 + 168) \bmod 77 = 58$ | 偽 ($u = 1$) | $(112 + 66) \bmod 77 = 24$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(2, 4)$ | $(44 + 224) \bmod 77 = 37$ | 真 ($u = -1$) | $(112 + 88) \bmod 77 = 46$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(2, 5)$ | $(44 + 280) \bmod 77 = 16$ | 真 ($u = -1$) | $(112 + 110) \bmod 77 = 68$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(3, 1)$ | $(66 + 56) \bmod 77 = 45$ | 真 ($u = -1$) | $(168 + 22) \bmod 77 = 36$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(3, 2)$ | $(66 + 112) \bmod 77 = 24$ | 真 ($u = -1$) | $(168 + 44) \bmod 77 = 58$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(3, 3)$ | $(66 + 168) \bmod 77 = 3$ | 真 ($u = -1$) | $(168 + 66) \bmod 77 = 3$ | 真 ($u = -1$) |
| $(3, 4)$ | $(66 + 224) \bmod 77 = 59$ | 偽 ($u = 1$) | $(168 + 88) \bmod 77 = 25$ | 偽 ($u = 1$) |
| $(3, 5)$ | $(66 + 280) \bmod 77 = 38$ | 真 ($u = -1$) | $(168 + 110) \bmod 77 = 47$ | 偽 ($u = 1$) |
集計および符号積の導出：
パリティの総和は $N(7,11) + N(11,7) = 11 + 4 = 15$ となり、半領域 $R$ の総要素数 $|R| = 15$ に完全に一致します！ この結果、符号の積は以下のように求まります。 $$ U(7,11) U(11,7) = (-1)^{11} (-1)^4 = (-1)^{15} = -1 $$
一方、標準的なルジャンドル記号の定義から直接計算を行うと、 $$ \left(\frac{11}{7}\right) = \left(\frac{4}{7}\right) = +1 $$ $$ \left(\frac{7}{11}\right) = -1 \quad (\text{平方非剰余: } 7^5 \equiv -1 \pmod{11}) $$ となり、$U(11,7) = \left(\frac{11}{7}\right) = 1$ および $U(7,11) = \left(\frac{7}{11}\right) = -1$ と完全な一致を示します。
$(p, q) = (7, 11)$ は、両素数が共に $4k+3$ 型（$7 \equiv 3 \pmod 4$, $11 \equiv 3 \pmod 4$）であるため、平方剰余の相互法則において右辺が $(-1)^{\frac{7-1}{2}\frac{11-1}{2}} = (-1)^{3 \times 5} = -1$ となり、符号の反転が引き起こされる最も重要な典型例です。
本アプローチにおける幾何学的解釈では、$N(7,11) = 11$（奇数）と $N(11,7) = 4$（偶数）という「奇数＋偶数＝奇数」のパリティ構造が、半領域 $R$ の面積 $|R| = 15$（奇数）からダイレクトに導出されています。 パラメータ集合 $B^{(7,11)}$ を離散トーラス $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ 上の長さ $56$ の直線軌跡として描いたとき、第一象限 $R$ を通過する軌跡の回数（$11$ 回）と、双対軌跡が通過する回数（$4$ 回）の和が、ちょうど領域全体の点数 $15$ と重なり合います。
この具体例計算は、アフィン量子群のテンソル積表現から得られたパラメータ集合 $B^{(m,n)}$ が、一見全く無関係に見える数論のトポロジカル不変量（ガウスの補題・ゾロタレフの補題における置換の符号）を完備かつ強固に保持していることを視覚的・数値的に証明しています。